Continuando con la seguidilla de ensayos sobre conceptos matemáticos aplicados con frecuencia en el lenguaje científico, ha llegado el turno de repasar las operaciones con logaritmos.
Para ello, volvemos a la idea de la potenciación, que hemos detallado con mayor extensión en otros textos de Fides et Ratio. De hecho, el primero de los ejemplos que utilizáramos en esa ocasión fue:
Para ello, volvemos a la idea de la potenciación, que hemos detallado con mayor extensión en otros textos de Fides et Ratio. De hecho, el primero de los ejemplos que utilizáramos en esa ocasión fue:
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 (se lee «dos a la cuarta»)
El número en superíndice se conoce con el nombre de exponente, y nos indica la cantidad de veces que ha de multiplicarse por sí mismo el otro número, llamado base. En otro ejemplo:
210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024 (se lee «dos a la décima»)
contamos con una base («2») y un exponente («10»)
La logaritmación es una de las operaciones inversas de la potenciación, y consiste en obtener el valor del exponente conociendo la base y el resultado. Retomando los mismos ejemplos:
log2 1024 = 10 (porque debemos elevar 210 para obtener 1024)
log2 16 = 4 (porque debemos elevar 24 para obtener 16)
log10 1000 = 3 (porque debemos elevar 103 para obtener 1000)
Cuando trabajamos con logaritmos en base 10, puede no escribirse el número base porque se da por sobreentendido. En consecuencia, si leemos:
log 1000000 = 6 (ya que 106 es un millón)
Si hasta aquí no hay dificultades, debemos avanzar entonces sobre estos logaritmos en base 10. Tomemos puntualmente los primeros tres evidentes:
log 10 = 1 (dado que 101 = 10)
log 100 = 2 (dado que 102 = 100)
log 1000 = 3 (dado que 103 = 1000)
Ustedes se preguntarán... ¿cual es el logaritmo, por ejemplo, del número 200? Parecería que debe tratarse de un número comprendido entre 2 y 3. De hecho, eso es real. En el siglo XVIII, el matemático y físico Howell calculó manualmente durante años estos valores para expresarlos en las tablas que llevan su nombre. Hoy día, las calculadoras científicas permiten su cálculo inmediato.
En efecto, si nos planteamos:
log 200 = ¿?
... nuestro razonamiento ha de ser:
10¿? = 200
Ya sea por medio de las tablas o de la calculadora, el resultado que obtendremos es:
102.30301 = 200
Notaremos enseguida que, al igual que la notación científica, el uso del logaritmo nos permite expresar grandes cantidades con números más simples. Supongamos que tengo interés en describir cuantos ejemplares («copias») del virus de la inmunodeficiencia humana (VIH) hay en un mililitro de la sangre de un enfermo. Un estudio especializado intentará decirme que, quizás, el paciente tenga 400 000 copias en ese milímetro cúbico. Sin embargo, es común que el resultado nos diga que la «carga viral» de esta persona es de 5.606 unidades-log. Si repetimos los razonamientos previos, entenderemos que:
105.606 = 400 000
Ahora bien, imaginemos que este enfermo es tratado con uno de los actuales esquemas antivirales de alta eficacia, y regresa a los 3 meses con un nuevo resultado que nos cuenta que su carga viral es de 2.803 unidades-log. A primera vista, parecería que el número de copias del VIH se ha reducido a exactamente la mitad. Sin embargo, al aplicar este logaritmo nos encontramos que:
102.803 = 635
Como vemos, en realidad la cantidad de virus se ha reducido de un modo absolutamente dramático... ¿qué es lo que ocurre? Sucede que la escala de unidades logarítmicas no es decimal, sino que al pasar de 2 a 3, por ejemplo, existe un cambio de decenas a centenas, esto es, un cambio «de a 10» niveles. Dicho de otro modo, 2 unidades-log equivalen a 100 mientras que 3 unidades-log equivalen a 1000 (hay un salto de «10 niveles»); 4 unidades-log equivalen a 10 000 (hay un salto de «10 niveles» con respecto a las 3 unidades-log y de «100 niveles» con respecto a las 2 unidades-log).
¿Complejo? Pues bien, las escalas logarítmicas son de uso cotidiano en muchas disciplinas científicas, como en nuestro ejemplo relacionado con el tratamiento de la enfermedad por VIH. Complementando los conceptos, veremos una aplicación usual en física para los "temidos" logaritmos.
Para ello intentaremos recordar en un lenguaje coloquial de que se trata el fenómeno de la radiactividad. Es prudente que, a tal fin, repasemos que la materia está formada por átomos, los cuales en su núcleo presentan pequeñísimas partículas llamadas nucleones, los cuales incluyen:
- protones (con carga positiva)
- neutrones (sin carga)
En "órbita" a ese núcleo, los átomos presentan una "nube" de electrones, partículas aún más pequeñas (casi 2000 veces menores a un nucleón) de carga negativa. En condiciones habituales, un átomo tiene exactamente la misma cantidad de protones y de electrones, por lo cual la suma total de partículas con carga positiva y carga negativa equivale a cero, por lo cual el átomo es electroneutro.
Un buen ejemplo de esta situación es el átomo de carbono, presente en todas las moléculas que constituyen a los seres vivos. El 99% de los átomos de carbono en el planeta Tierra tiene:
- 6 protones en su núcleo (el número de protones es denominado por los físicos "número atómico". El hecho de que el átomo sea "carbono" se debe al número de protones; este concepto es aplicable a cualquier otro elemento de la naturaleza)
- 6 neutrones en su núcleo
- 6 electrones en sus "órbitas"
Entonces, el átomo de carbono tiene en total 12 nucleones, y por ello se lo llama C12. Sin embargo, algunos átomos de carbono están constituidos de la siguiente manera:
- 6 protones (como todo átomo de carbono)
- 8 neutrones
- 6 electrones
Como es entendible, estos átomos se denominan C14. Ocurre que este pequeño porcentaje de átomos de carbono son inestables, ya que uno de los neutrones "sobrantes" tiende a liberar energía y convertirse en un protón. Como se pueden imaginar, el núcleo pasa a contar con 7 protones... por lo cual ya NO es carbono.
Esto que impresiona absolutamente alquímico es el fenómeno conocido como radiactividad, por el cual el núcleo de un átomo "inestable" tiende a una forma de mayor estabilidad a costa de emitir energía en forma de partículas o de radiación electromagnética. Lo concreto es que se ha determinado que, si se cuenta con un número de átomos inestables, puede calcularse en que tiempo probable "decaerán" a un forma más estable.
En el caso particular del C14, se conoce que la mitad de los átomos de carbono presentes en una masa dada decaerán en C12 en exactamente 5760 años. Esto significa que la "vida media" del C14 es de 5760 años.
¿Dónde entran los logaritmos en todo esto? Existe una fórmula conocida por los físicos que permite estimar la antigüedad de la materia orgánica (abundante en carbono) en base a la actividad de C14 presente en ella. Esa ecuación incluye logaritmos:
At = Ao . e–lambda . t
Siendo "At" la actividad radiactiva de la muestra, "Ao" la actividad inicial, "lambda" la constante de decaeimiento (los 5760 años en nuestro ejemplo) y "t" el tiempo transcurrido. Aplicando logaritmos, a través de una serie de operaciones nos encontraríamos que el citado tiempo "t" podría calcularse merced a:
- lambda
t = ---------------------
log At - log Ao
Así, hemos visto una de los múltiples aplicaciones en la física de la logaritmación. Podríamos continuar con múltiples ensayos más, pero excede a los objetivos de esta divulgación.
